Hjulstorlek och Systemverkningsgrad
Hur hjulstorlek fungerar som mekanisk utväxling i direktdrivna system, och varför detta har dramatisk påverkan på verkningsgrad och prestanda.
Nyckelinsikt: I direktdrivna system som navmotorer är hjulstorleken den enda formen av mekanisk utväxling. Ett mindre hjul, snabbare rotation, möjliggör användning av en motor med färre lindningsvarv med tjockare tråd, vilket ger lägre lindningsresistans, lägre kopparförluster, och mer mekanisk uteffekt vid samma elektriska ineffekt.
Introduktion
I direktdrivna elmotorsystem, såsom navmotorer för elcyklar och elmopeder, saknas traditionell växellåda. Detta innebär att hjulstorleken blir den enda formen av mekanisk utväxling mellan motorn och vägen.
Den centrala tesen i denna artikel är att ett mindre hjul, genom att fungera som en högre utväxling, möjliggör användning av en motor med högre Kv-värde. Denna högre Kv-motor har i sin tur lägre lindningsresistans, vilket resulterar i lägre kopparförluster och högre verkningsgrad vid samma mekaniska uteffekt.
Teoretisk grund
Grundläggande motorkonstanter: Kv och Kt
För en borstlös likströmsmotor (BLDC/PMSM) existerar ett fundamentalt och ofrånkomligt samband mellan hastighetskonstanten (Kv) och vridmomentkonstanten (Kt). Detta samband är en direkt konsekvens av energibevarande och elektromagnetisk induktion:
Kt = 60 / (2π × Kv) ≈ 9.55 / Kv [Nm/A]
Där Kv uttrycks i RPM per volt (obelastat) och Kt i newtonmeter per ampere. Detta samband är fysikaliskt låst genom motorns konstruktion och kan inte kringgås.
Fysikalisk bakgrund
Vid tomgång roterar motorn med en hastighet där den inducerade mot-EMK (back-EMF) balanserar matningsspänningen. Denna hastighet definierar Kv. Vid stall (noll varvtal) producerar motorn maximalt moment proportionellt mot strömmen, definierat av Kt.
Lindningskonstruktion och resistans
En motors Kv-värde bestäms primärt av antalet lindningsvarv per fas:
- Hög Kv-motor: Färre lindningsvarv med tjockare tråd
- Låg Kv-motor: Fler lindningsvarv med tunnare tråd
Resistansen i en ledare ges av R = ρ × L / A, där ρ är resistivitet, L är ledarlängd och A är tvärsnittsarea. För en motor med dubbelt så många varv (halva Kv) blir ledarlängden dubbelt så lång och tvärsnittsarean halverad. Detta ger:
R ∝ 1/Kv²
Resistansen skalar med kvadraten på 1/Kv
Detta är den kritiska insikten: En motor med dubbelt så högt Kt (hälften så högt Kv) har fyra gånger så hög resistans.
Resistans och Kt vs Kv-värde
Grafen visar hur resistans (relativ till Kv=10) och momentkonstant Kt förändras med Kv-värdet. Notera den kvadratiska ökningen av resistans vid lägre Kv.
Vid Kv=5 är resistansen ~4× högre än vid Kv=10. Vid Kv=15 är resistansen ~44% av Kv=10.
Hjulstorleken som mekanisk utväxling
I ett direktdrivet system fungerar hjulet som en hävarm. Drivkraften vid marken relaterar till motorns vridmoment enligt:
F = M / r
Drivkraft = Motormoment / Hjulradie
Ett mindre hjul ger alltså högre drivkraft för samma motormoment. Omvänt krävs mindre motormoment för att uppnå samma drivkraft med ett mindre hjul.
Fordonets hastighet relaterar till motorns varvtal enligt v = ω × r. Ett mindre hjul innebär att motorn måste rotera snabbare för samma fordonshastighet. Detta är ekvivalent med en högre utväxling i ett traditionellt transmissionssystem.
Nyckelprincipen
Genom att välja ett mindre hjul kan man använda en motor med högre Kv. Denna högre Kv-motor har lägre resistans, vilket ger lägre kopparförluster vid samma drivkraft.
Matematisk härledning av förlustskillnaden
Låt oss jämföra två system designade för samma topphastighet och spänning, men med olika hjulstorlekar:
| Parameter | System A (litet hjul) | System B (stort hjul) |
|---|---|---|
| Hjulradie | rA | rB = k × rA (k > 1) |
| Kv för samma vmax | KvA | KvB = KvA / k |
| Kt | KtA | KtB = k × KtA |
| Resistans | RA | RB = k² × RA |
För att uppnå samma drivkraft F vid hjulet krävs olika motormoment, men intressant nog blir strömmarna identiska:
MA = F × rA MB = F × rB = k × MA
IA = MA / KtA IB = (k × MA) / (k × KtA) = IA
Men kopparförlusterna skiljer sig dramatiskt:
PCu,B = k² × PCu,A
Det stora hjulet har k² gånger högre kopparförluster!
Om k = 1.34 (förhållandet 29"/20") blir förlusterna 1.34² = 1.80 gånger högre, d.v.s. 80% mer.
Praktiskt räkneexempel: 20" vs 29" hjul
Vi jämför två direktdrivna navmotorsystem med följande gemensamma specifikationer:
| Parameter | Värde |
|---|---|
| Systemspänning | 72 V |
| Maximal batteriström | 80 A |
| Maximal batterieffekt | 5 760 W |
| Målad topphastighet | 70 km/h |
| Total massa | 100 kg |
Hjuldimensioner
| Parameter | 20" hjul | 29" hjul | Förhållande k |
|---|---|---|---|
| Total diameter | 560 mm | 750 mm | 1.34 |
| Radie (r) | 0.280 m | 0.375 m | 1.34 |
| Omkrets (C) | 1.76 m | 2.36 m | 1.34 |
Motordesign för samma topphastighet
För att nå 70 km/h vid 72 V krävs olika Kv-värden:
| Parameter | 20" motor | 29" motor |
|---|---|---|
| Kv | 7.89 RPM/V | 5.89 RPM/V |
| Kt | 1.21 Nm/A | 1.62 Nm/A |
| Resistans (R) | 0.025 Ω | 0.045 Ω (+80%) |
Beräknade resultat vid olika hastigheter
| Hastighet | Parameter | 20" hjul | 29" hjul | Fördel 20" |
|---|---|---|---|---|
| 20 km/h | Kopparförlust | 980 W | 1 458 W | -33% |
| Verkningsgrad | 83.0% | 74.7% | +8.3% | |
| 30 km/h | Kopparförlust | 533 W | 845 W | -37% |
| Verkningsgrad | 90.7% | 85.3% | +5.4% | |
| 45 km/h | Kopparförlust | 260 W | 441 W | -41% |
| Verkningsgrad | 95.5% | 92.3% | +3.2% |
Verkningsgrad vid olika hjulstorlekar
Jämförelse av verkningsgrad för 20", 26" och 29" hjul vid konstant batterieffekt (5760W). Alla system designade för samma topphastighet (70 km/h) vid 72V.
Acceleration: 0-45 km/h
| Parameter | 20" hjul | 29" hjul | Skillnad |
|---|---|---|---|
| Genomsnittlig Pmech | ~4 900 W | ~4 400 W | +11% |
| Tid 0-45 km/h | 1.59 s | 1.78 s | 12% snabbare |
| Energi från batteri | 9.2 kJ | 10.2 kJ | 10% mindre |
Accelerationssimulering
Graferna nedan visar simulerad acceleration från stillastående med parametrarna från räkneexemplet: 72V systemspänning, 80A batteriström (5760W), 100 kg totalvikt, och alla system designade för 70 km/h topphastighet.
Eftersom det mindre hjulet möjliggör en motor med högre Kv och därmed lägre resistans, blir mer av den elektriska effekten tillgänglig som mekanisk effekt. Detta ger snabbare acceleration, trots att alla system får exakt samma elektriska ineffekt.
Beräknade Kv-värden för 70 km/h topphastighet vid 72V
| Hjulstorlek | Diameter | Omkrets | RPM vid 70 km/h | Kv |
|---|---|---|---|---|
| 20" | 506 mm | 1590 mm | 734 RPM | 10.19 RPM/V |
| 26" | 665 mm | 2089 mm | 558 RPM | 7.76 RPM/V |
| 29" | 732 mm | 2300 mm | 507 RPM | 7.05 RPM/V |
20" hjul
Kv = 10.19 RPM/V
26" hjul
Kv = 7.76 RPM/V
29" hjul
Kv = 7.05 RPM/V
Hur man läser graferna
Effektlinjer (vänster Y-axel)
- Röd heldragen (Mek. effekt): Mekanisk uteffekt till hjulet.20" har högst – skillnaden är "gratis" effekt från bättre verkningsgrad.
- Orange streckad (El. effekt): Elektrisk ineffekt från batteriet. Skillnaden mellan el. och mek. effekt är förlusterna (I²R).
- Grå linje (Last): Effekt för att övervinna motstånd (luft + rullning + lutning). Identisk för alla hjulstorlekar vid samma hastighet.
Moment & Referens
- Blå linje (Moment, höger Y-axel): Vridmoment vid hjulet.29" har högst moment p.g.a. lägre Kv (högre Kt) – men det hjälper inte!
- Grön vertikal linje (Jämvikt): Markerar jämviktshastigheten där motoreffekt = lasteffekt. Linjen följer musen när du hovrar och visar hastigheten.
💡 Tips: Hovra över grafen för att se detaljerad data inkl. tid till hastighet (⏱). Den gröna vertikala linjen markerar den aktuella positionen.
Varför vinner 20"-hjulet?
Det kontraintuitiva resultatet: 29"-hjulet har högre moment men sämre acceleration. Hur kan det vara möjligt?
Svaret är verkningsgrad. För att nå samma topphastighet vid samma spänning behöver 29"-hjulet en motor med lägre Kv (fler lindningsvarv). Fler varv betyder högre resistans (R ∝ 1/Kv²), vilket ger större kopparförluster (I²R).
Trots att alla system får samma elektriska ineffekt (72V × 80A = 5760W), förlorar 29"-systemet mer till värme i lindningarna. 20"-systemet får "gratis" mekanisk effekt genom sin högre verkningsgrad.
Resultatsammanfattning
Jämför värdena i panelerna ovan. Notera hur de hänger ihop:
💡 Nyckelinsikt: Acceleration bestäms av effekt, inte moment. Formeln a = P/(m×v) visar att högre mekanisk effekt ger högre acceleration vid samma hastighet. Det mindre hjulet vinner genom att vara mer effektivt, inte genom att ha mer moment.
När skillnaden är störst
Effektivitetsvinsten från högre utväxling (mindre hjul) är störst vid:
- Låga hastigheter och höga krafter: Vid start och acceleration dominerar kopparförlusterna
- Backkörning: Hög kraft vid låg hastighet kräver hög ström
- Stop-and-go-körning: Frekventa accelerationer från låg hastighet
Skillnaden minskar vid höga hastigheter där back-EMF närmar sig matningsspänningen och strömmen (och därmed I²R-förlusterna) naturligt minskar.
Kopparförluster (I²R) vid olika hjulstorlekar
Visar hur kopparförlusterna i motorlindningarna varierar med hastighet. Vid låga hastigheter är skillnaden störst: 29"-hjulet förlorar nästan dubbelt så mycket effekt som 20".
Vid 20 km/h: 20" förlorar ~900W, 29" förlorar ~1600W, en skillnad på 700W (78% mer).
Praktiska avvägningar
Mindre hjul ger inte enbart fördelar. Följande faktorer måste också beaktas:
✓ Fördelar med mindre hjul
- Högre verkningsgrad vid acceleration
- Mer mekanisk effekt per elektrisk watt
- Bättre backklättringsförmåga
- Lägre energiförbrukning vid varierande fart
✗ Nackdelar med mindre hjul
- Sämre komfort, rullar inte lika bra över hinder
- Generellt högre rullmotstånd
- Mindre gyroskopisk stabilitet vid hög fart
- Begränsar maximal motorstorlek för navmotorer
Optimal lösning: För prestanda och effektivitet vid acceleration är mindre hjul fördelaktiga. För långdistanskomfort vid konstant hastighet kan större hjul vara att föredra. 26 tum representerar ofta en bra kompromiss för allmän användning.
Tillämpning på elbilar
Trots att elmotorer kan leverera fullt vridmoment från stillastående, använder praktiskt taget alla elbilar en enstegsväxellåda (reduktionsväxel) mellan motorn och hjulen. Anledningen är exakt densamma som diskuterats ovan.
| Parameter | Typiskt värde |
|---|---|
| Maximal effekt | 150-300 kW |
| Maximalt motorvarvtal | 12 000-18 000 RPM |
| Maximalt moment (vid motor) | 300-500 Nm |
| Reduktionsväxel | 8:1 till 12:1 |
| Vridmoment vid hjul | 2 400-6 000 Nm |
Porsche Taycan: Tvåväxlad transmission
Porsche Taycan är anmärkningsvärd som en av få elbilar med tvåväxlad transmission på bakaxeln. Anledningen illustrerar principerna i denna artikel perfekt:
| Växel | Utväxling | Användning | Fördel |
|---|---|---|---|
| 1:a växeln | ~15:1 | 0-100 km/h acceleration | Max kraft vid låg motorström |
| 2:a växeln | ~8:1 | Höghastighetskörning | Effektiv vid hög hastighet |
Resultatet är upp till 10-15% bättre effektivitet vid motorvägskörning och förbättrad acceleration, utan att kompromissa på topphastighet (260 km/h för Taycan Turbo S).
Slutsatser
Sammanfattning av effektvinsten
Den fundamentala mekanismen kan sammanfattas i följande kedja:
- Mindre hjul = högre "utväxling": motorn måste rotera snabbare för samma fordonshastighet
- Högre utväxling möjliggör högre Kv: för att nå samma topphastighet
- Högre Kv = lägre resistans: tjockare tråd, färre varv
- Lägre resistans = lägre I²R-förluster: vid samma drivkraft
- Momentmultiplikationen från det mindre hjulet kompenserar för lägre Kt
Kärnprincipen: Låt mekanisk utväxling göra momentförstärkningen istället för att förlita dig på en "stark" motor med hög Kt och hög resistans. Detta flyttar förlusterna från elektriska (I²R) till mekaniska, där de är mycket lägre.
I det praktiska exemplet gav 20"-hjulet högre verkningsgrad och 32% snabbare acceleration jämfört med 29"-hjulet, trots samma ineffekt.
För direktdrivna system där ingen traditionell växellåda finns tillgänglig, såsom direkdrivna navmotorer för elcyklar, blir hjulstorleken den enda tillgängliga utväxlingsmekanismen. Valet av ett mindre hjul är därmed ett effektivt sätt att förbättra systemets prestanda och verkningsgrad, särskilt vid acceleration och körning i låga hastigheter.